Упр.37 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Из точки C проведена касательная к окружности, отрезок CD которой с концом в точке касания D равен а, и секущая CB. Найдите длину секущей, если отношение внешней ее части к внутренней равно m : n.

Обозначим через $$E$$ точку пересечения секущей $$CB$$ с окружностью, ближайшую к точке $$C$$. Тогда $$CE:EB=m:n$$.

Пусть $$CB=x$$. Тогда из отношения частей секущей получаем:

$$CE=\frac{m}{m+n}\,x.$$

По теореме о касательной и секущей:

$$CD^2=CE\cdot CB.$$

Подставим данные:

$$a^2=\frac{m}{m+n}x^2.$$

Отсюда

$$x^2=a^2\cdot \frac{m+n}{m},$$

значит

$$x=a\sqrt{\frac{m+n}{m}}=a\sqrt{1+\frac{n}{m}}.$$

Следовательно,

$$CB=a\sqrt{1+\frac{n}{m}}.$$

Ответ

$$a\sqrt{1+\frac{n}{m}}$$