Упр.37 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Шар радиуса $$10\ \text{см}$$ цилиндрически просверлен по оси. Диаметр отверстия $$12\ \text{см}$$. Найдите полную поверхность тела.

Рассмотрим осевое сечение шара. Пусть $$O$$ — центр шара, $$R=10$$ см — его радиус. Диаметр отверстия равен $$12$$ см, значит радиус отверстия

$$BM=\frac{1}{2}\cdot 12=6\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$BMO$$ имеем

$$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ см}.$$

Высота цилиндрического отверстия равна

$$BD=2OM=16\text{ см}.$$

Полная поверхность тела состоит из боковой поверхности цилиндра и поверхности шара без двух шаровых сегментов. Высота каждого сегмента равна

$$MK=OK-OM=10-8=2\text{ см}.$$

Тогда

$$S=2\pi\cdot BM\cdot BD+4\pi R^2-2\cdot 2\pi R\cdot MK$$

$$S=2\pi\cdot 6\cdot 16+4\pi\cdot 10^2-2\cdot 2\pi\cdot 10\cdot 2$$

$$S=192\pi+400\pi-80\pi=512\pi\text{ см}^2.$$

Ответ: $$512\pi\text{ см}^2$$.