Упр.37 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок AB пересекает плоскость.

Проведём перпендикуляры $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$MM_1$$ к плоскости $$\alpha$$. По теореме о параллельных прямых эти перпендикуляры параллельны.

Точки $$A_1$$ и $$B_1$$ — проекции точек $$A$$ и $$B$$ на плоскость $$\alpha$$, поэтому $$A_1B_1$$ — параллельная проекция отрезка $$AB$$. Следовательно,

$$\frac{A_1E_1}{E_1B_1}=\frac{AE}{EB}=1,$$

то есть точка $$E_1$$ — середина $$A_1B_1$$.

Рассмотрим треугольник $$BA B_1$$. Если отметить точку $$C$$ — середину отрезка $$AB_1$$, то $$MC$$ — средняя линия треугольника $$BAB_1$$, откуда

$$MC=\frac{1}{2}BB_1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AA_1B_1$$. Отрезок $$M_1C$$ — средняя линия треугольника $$AA_1B_1$$, значит

$$M_1C=\frac{1}{2}AA_1.$$

Тогда расстояние от точки $$M$$ до плоскости $$\alpha$$ равно

$$MM_1=\left|MC-M_1C\right|=\left|\frac{1}{2}BB_1-\frac{1}{2}AA_1\right|=\frac{1}{2}\left|BB_1-AA_1\right|.$$

а) $$MM_1=\frac{1}{2}\left|5{,}3-3{,}2\right|=\frac{1}{2}\cdot 2{,}1=1{,}05\text{ см}.$$

б) $$MM_1=\frac{1}{2}\left|7{,}4-6{,}1\right|=\frac{1}{2}\cdot 1{,}3=0{,}65\text{ см}.$$

в) $$MM_1=\frac{1}{2}\left|b-a\right|.$$

Ответ

а) $$1{,}05\text{ см}$$; б) $$0{,}65\text{ см}$$; в) $$\frac{1}{2}\left|b-a\right|$$.