Упр.36 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

36. Докажите, что если через точку S, расположенную внутри окружности, проведено больше двух хорд, то произведение отрезков любой из хорд одинаково для всех хорд.

Проведём через точку $$S$$ диаметр $$MN$$ и любые хорды $$A_1B_1$$, $$A_2B_2$$, $$A_3B_3$$, проходящие через точку $$S$$.

По теореме о пересекающихся хордах произведения отрезков каждой хорды равны:

$$SA_1\cdot SB_1=SA_2\cdot SB_2=SA_3\cdot SB_3=SM\cdot SN.$$

Так как через одну точку, лежащую внутри окружности, можно провести только один диаметр, то $$SM\cdot SN$$ — одно и то же число для всех таких хорд. Следовательно, произведение отрезков любой хорды, проходящей через точку $$S$$, одинаково для всех хорд.

Ответ: $$SA_1\cdot SB_1=SA_2\cdot SB_2=SA_3\cdot SB_3=\text{const}.$$