Упр.36 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания $$a$$, а боковые ребра взаимно перпендикулярны?

Проведём высоту $$SO$$ пирамиды к основанию. Так как боковые рёбра $$SA$$, $$SB$$ и $$SC$$ взаимно перпендикулярны, то треугольники $$SAB$$, $$SBC$$ и $$CSA$$ — прямоугольные и равнобедренные. Поэтому

$$SA=SB=SC=\frac{a}{\sqrt{2}}.$$

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $$a$$, значит его площадь равна

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$$

Точка $$O$$ — центр описанной около $$\triangle ABC$$ окружности, поэтому

$$AO=R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем

$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{6}}.$$

Тогда объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{\sqrt{6}}=\frac{a^3}{12\sqrt{2}}.$$

Ответ: $$\frac{a^3}{12\sqrt{2}}$$.