Упр.36 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Радиус шара $$7\ \text{см}$$. На его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной $$2\ \text{см}$$. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис. 162).

Пусть $$O_1$$ и $$B_1$$ — центры данных окружностей, а $$AC$$ — их общая хорда, $$AC=2\text{ см}$$. Тогда перпендикуляры из центров к хорде делят её пополам, значит

$$AB_1=B_1C=\frac{AC}{2}=1\text{ см}.$$

Обозначим радиус окружностей через $$R$$, а $$O_1B_1=a$$.

В прямоугольном треугольнике $$OO_1B_1$$ имеем

$$OA_1^2=O_1B_1^2+AB_1^2,$$

то есть

$$R^2=a^2+1.$$

Аналогично для второй окружности:

$$R^2=b^2+1,$$

откуда $$a=b$$. Следовательно, точки $$O_1$$ и $$B_1$$ равноудалены от центра шара $$O$$, а значит, четырёхугольник $$OO_1B_1B$$ — квадрат.

Тогда его диагональ

$$O_1B=\sqrt{2}\,a,$$

и в прямоугольном треугольнике $$OO_1B_1$$ получаем

$$OA^2=O_1B_1^2+AB_1^2,$$

то есть

$$49=a^2+1.$$

Отсюда

$$a^2=24.$$

Теперь найдём радиус окружностей:

$$R^2=a^2+1=24+1=25,$$

значит

$$R=5\text{ см}.$$

Ответ: $$5\text{ см}$$.