Упр.36 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Радиус шара 7 см. Ha его поверхности даны две равные окружности, имеющие общую хорду длиной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны (рис. 162).

Пусть $$O_1$$ и $$B_1$$ — центры данных окружностей, а $$O$$ — центр шара. Проведём перпендикуляры $$O_1B_1$$ и $$BB_1$$ к общей хорде. Тогда хорда делится пополам, значит

$$AB_1=B_1C=\frac{1}{2}AC=1\text{ см}.$$

Обозначим радиус окружностей через $$R$$, а $$O_1B_1=a$$, $$BB_1=b$$.

В прямоугольном треугольнике $$OO_1B_1$$ имеем

$$O_1A^2=O_1B_1^2+AB_1^2,$$

то есть

$$R^2=a^2+1.$$

Аналогично, в прямоугольном треугольнике $$BCB_1$$ получаем

$$BC^2=BB_1^2+B_1C^2,$$

то есть

$$R^2=b^2+1.$$

Так как окружности равны, то $$a=b$$. Следовательно, точки $$O_1, B_1, B, O$$ образуют квадрат, а его диагональ равна

$$O_1B^2=2O_1B_1^2=2a^2.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$OO_1B_1$$, где $$OA=7\text{ см}$$ — радиус шара:

$$OA^2=O_1B_1^2+AB_1^2,$$

$$49=2a^2+1,$$

$$2a^2=48,$$

$$a^2=24.$$

Тогда

$$R^2=a^2+1=24+1=25,$$

$$R=5\text{ см}.$$

Ответ

$$5\text{ см}$$