Упр.36 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.

Подробный ответ

Рассмотрим грань куба $$AA_1D_1D$$. Это квадрат со стороной $$a$$, поэтому его диагональ

$$A_1D=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Теперь найдём диагональ куба $$B_1D$$. В прямоугольном треугольнике $$A_1B_1D$$ имеем

$$B_1D=\sqrt{A_1D^2+A_1B_1^2}=\sqrt{(a\sqrt{2})^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}.$$

Пусть $$H$$ — основание перпендикуляра из точки $$A_1$$ на прямую $$B_1D$$. Тогда $$A_1H$$ — искомое расстояние.

Площадь треугольника $$A_1B_1D$$ можно выразить двумя способами:

$$S=\frac{1}{2}\,A_1B_1\cdot A_1D=\frac{1}{2}\,A_1H\cdot B_1D.$$

Отсюда

$$A_1H=\frac{A_1B_1\cdot A_1D}{B_1D}=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$