Упр.36 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.
Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает четыре параллельные прямые в точках $$A, B, C, D$$, причём $$ABCD$$ — параллелограмм.
Рассмотрим другую плоскость $$\beta$$, не параллельную данным прямым, и пусть она пересекает их в точках $$A_1, B_1, C_1, D_1$$.
Плоскости $$ABB_1A_1$$ и $$CDD_1C_1$$ параллельны, так как каждая из них проходит через две пары параллельных прямых. Поэтому при пересечении плоскостью $$\beta$$ получаем параллельные прямые $$A_1B_1$$ и $$C_1D_1$$.
Аналогично плоскости $$ADD_1A_1$$ и $$BCC_1B_1$$ параллельны, значит $$A_1D_1 \parallel B_1C_1$$.
Итак, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, $$A_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.
Ответ
Любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах параллелограмма.
