Упр.36 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах некоторого параллелограмма.

Пусть плоскость $$\alpha$$ пересекает данные четыре параллельные прямые в точках $$A, B, C, D$$, причём $$ABCD$$ — параллелограмм.

Пусть плоскость $$\beta$$ пересекает эти же прямые в точках $$A_1, B_1, C_1, D_1$$.

Рассмотрим плоскости $$ABB_1A_1$$ и $$CDD_1C_1$$. Они параллельны, так как каждая из них проходит через две пары параллельных прямых.

Тогда плоскость $$\beta$$ пересекает эти параллельные плоскости по параллельным прямым, значит

$$A_1B_1 \parallel C_1D_1.$$

Аналогично, плоскости $$ADD_1A_1$$ и $$BCC_1B_1$$ параллельны, поэтому

$$A_1D_1 \parallel B_1C_1.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит это параллелограмм.

Ответ

Любая плоскость, не параллельная данным прямым, пересекает их в вершинах параллелограмма.