Упр.35 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Поверхность тела, образуемого вращением квадрата около стороны, равновелика поверхности шара, имеющего радиусом сторону квадрата. Докажите.

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат со стороной $$a$$, вращающийся около стороны $$AB$$. Тогда получается цилиндр с осью $$AB$$ и радиусом $$BC=a$$.

Найдём площадь полной поверхности этого цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi RH=2\pi\cdot BC\cdot AB=2\pi a^2,$$

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi\cdot BC^2=\pi a^2.$$

Следовательно, полная поверхность цилиндра равна

$$S_1=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=2\pi a^2+2\pi a^2=4\pi a^2.$$

Теперь найдём площадь поверхности шара радиуса $$a$$:

$$S_2=4\pi R^2=4\pi a^2.$$

Итак, $$S_1=S_2$$, то есть поверхность тела, полученного вращением квадрата около его стороны, равновелика поверхности шара радиуса, равного стороне квадрата.