Упр.35 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Квадрат вращается около одной из сторон;
Доказать: Поверхность тела вращения равновелика поверхности
шара, имеющего радиусом сторону квадрата;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данный квадрат со стороной a, вращается около
стороны AB, тогда тело вращения-это цилиндр с осью AB и
радиусом BC;

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — квадрат со стороной $$a$$, вращающийся вокруг стороны $$AB$$. Тогда получается цилиндр с осью $$AB$$ и радиусом $$BC=a$$, высота которого также равна $$AB=a$$.

Найдём полную поверхность этого цилиндра:

$$S_{\text{бок}}=2\pi RH=2\pi\cdot a\cdot a=2\pi a^2,$$

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2=\pi a^2.$$

Тогда полная поверхность цилиндра равна

$$S_1=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=2\pi a^2+2\pi a^2=4\pi a^2.$$

Теперь найдём поверхность шара радиуса $$a$$:

$$S_2=4\pi R^2=4\pi a^2.$$

Следовательно,

$$S_1=S_2.$$

Значит, поверхность тела, полученного вращением квадрата около его стороны, равновелика поверхности шара, радиус которого равен стороне квадрата.