Упр.35 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно $$b$$ (рис. 177). Найдите объем пирамиды.
Проведём перпендикуляр $$SO$$ к плоскости основания пирамиды. Так как боковые рёбра равны, точка $$O$$ — центр окружности, описанной около основания, поэтому $$AO=R$$.
Треугольники $$\triangle ASB$$, $$\triangle BSC$$ и $$\triangle CSA$$ равны по двум катетам, значит они равнобедренные. Тогда
$$AB=BC=CA=\frac{b}{\sin 45^\circ}=b\sqrt{2}.$$
Следовательно, основание $$ABC$$ — равносторонний треугольник. Его радиус описанной окружности равен
$$AO=R=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{6}}{3}.$$
Площадь основания:
$$S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(b\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2\sqrt{3}}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ASO$$ находим высоту пирамиды:
$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{b^2-\frac{b^2\cdot 6}{9}}=\sqrt{b^2-\frac{2b^2}{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}.$$
Теперь объём пирамиды:
$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{b^3}{6}.$$
Ответ: $$\frac{b^3}{6}$$.
