Упр.35 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое равно b (рис. 177). Найдите объем пирамиды.

Проведём перпендикуляр $$SO$$ к основанию пирамиды. Так как боковые рёбра равны и попарно перпендикулярны, то точка $$O$$ является центром окружности, описанной около основания $$ABC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle ASB$$, $$\triangle BSC$$ и $$\triangle CSA$$. Каждый из них прямоугольный и имеет равные катеты $$b$$, значит, они равнобедренные. Тогда

$$AB=BC=CA=\frac{b}{\sin 45^\circ}=b\sqrt{2}.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ — равносторонний. Тогда радиус описанной окружности основания равен

$$AO=R=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{b\sqrt{6}}{3}.$$

Найдём высоту пирамиды из прямоугольного треугольника $$\triangle ASO$$:

$$SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{b^2-\left(\frac{b\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\sqrt{b^2-\frac{2b^2}{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}.$$

Площадь основания:

$$S_{ABC}=\frac{AB^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(b\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2b^2\sqrt{3}}{4}=\frac{b^2\sqrt{3}}{2}.$$

Теперь объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{b^3}{6}.$$

Ответ

$$\frac{b^3}{6}$$