Упр.35 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точка A отстоит от плоскости на расстояние $$h$$. Найдите длины наклонных, проведённых из этой точки под следующими углами к плоскости: 1) $$30^\circ$$; 2) $$45^\circ$$; 3) $$60^\circ$$.

Опустим из точки $$A$$ перпендикуляр $$AA’$$ на плоскость $$\alpha$$. Тогда в треугольнике $$AA’B$$ угол при вершине $$A’$$ прямой, а угол между наклонной $$AB$$ и плоскостью $$\alpha$$ равен $$\angle ABA’$$.

В прямоугольном треугольнике $$AA’B$$ имеем:

$$\sin \angle ABA’=\frac{AA’}{AB}=\frac{h}{AB},$$
то есть
$$AB=\frac{h}{\sin \angle ABA’}.$$

Теперь найдём длины наклонных для каждого случая:

1. Если $$\angle ABA’=30^\circ$$, то

   $$AB=\frac{h}{\sin 30^\circ}=\frac{h}{\frac12}=2h.$$

2. Если $$\angle ABA’=45^\circ$$, то

   $$AB=\frac{h}{\sin 45^\circ}=\frac{h}{\frac{\sqrt2}{2}}=h\sqrt2.$$

3. Если $$\angle ABA’=60^\circ$$, то

   $$AB=\frac{h}{\sin 60^\circ}=\frac{h}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{2h}{\sqrt3}.$$

Ответ: $$2h;\ h\sqrt2;\ \frac{2h}{\sqrt3}.$$