Упр.35 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны три параллельные плоскости а1, а2, а3. Пусть X1, X2, X3 — точки пересечения этих плоскостей с произвольной прямой. Докажите, что отношение длин отрезков X1X2 : X2X3 не зависит от прямой, т. e. одинаково для любых двух прямых.

Подробный ответ

Проведём ещё одну прямую, пересекающую плоскости $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ в точках $$Y_1,Y_2,Y_3$$ и пересекающую прямую $$X_1X_3$$ в точке $$A$$.

Рассмотрим плоскость $$AY_3X_3$$. Так как плоскости $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ параллельны, то линии их пересечения с этой плоскостью параллельны:

$$Y_1X_1 \parallel Y_2X_2 \parallel Y_3X_3.$$

Тогда треугольники $$\triangle AY_1X_1$$, $$\triangle AY_2X_2$$ и $$\triangle AY_3X_3$$ подобны по двум углам. Следовательно,

$$ \frac{AX_1}{AY_1}=\frac{AX_2}{AY_2}=\frac{AX_3}{AY_3}=k. $$

Отсюда

$$ \frac{X_1X_2}{X_2X_3}=\frac{Y_1Y_2}{Y_2Y_3}=k. $$

Значит, отношение $$X_1X_2 : X_2X_3$$ не зависит от выбора прямой, а является постоянным для любых двух прямых, пересекающих данные параллельные плоскости.