Упр.34 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, a двугранный угол при основании равен 45°. Найдите объем пирамиды. .

Подробный ответ

Пусть $$SO$$ — высота правильной шестиугольной пирамиды, тогда точка $$O$$ — центр основания.

Проведём в основании перпендикуляр $$OE \perp AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$SE \perp AB$$, а линейный угол двугранного угла при основании равен $$\angle SEO=45^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$SEO$$ имеем $$\angle ESO=\angle SEO=45^\circ$$, значит, треугольник $$SEO$$ равнобедренный, и

$$SO=OE=r,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника

$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды:

$$S=6\cdot S_{ABO}=6\cdot \frac{a\cdot r}{2}=6\cdot \frac{a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Теперь найдём объём пирамиды:

$$V=\frac{1}{3}S\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a^3.$$