Упр.34 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды $$a$$, а двугранный угол при основании равен $$45^\circ$$. Найдите объём пирамиды.
Пусть $$SO$$ — высота пирамиды, $$O$$ — центр основания. Проведём в основании перпендикуляр $$OE$$ к стороне $$AB$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$SE \perp AB$$, а линейный угол двугранного угла при основании равен $$\angle SEO=45^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике $$SEO$$ имеем $$\angle ESO=\angle SEO=45^\circ$$, значит, треугольник $$SEO$$ равнобедренный, и
$$SO=OE=r,$$
где $$r$$ — радиус вписанной окружности правильного шестиугольника. Для правильного шестиугольника
$$r=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Следовательно,
$$SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$
Площадь основания правильной шестиугольной пирамиды равна площади правильного шестиугольника:
$$S=6\cdot S_{ABO}=6\cdot \frac{a\cdot r}{2}=6\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2.$$
Тогда объём пирамиды
$$V=\frac{1}{3}S\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}a^3.$$
Ответ: $$\frac{3}{4}a^3$$.
