Упр.34 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Ha поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.

Обозначим данные точки через $$A$$, $$B$$ и $$C$$, тогда $$AB=6$$ см, $$BC=8$$ см, $$CA=10$$ см.

Плоскость, проходящая через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$, пересекает шар по окружности. Центр этой окружности обозначим через $$O_1$$. Тогда $$OO_1 \perp (ABC)$$, где $$O$$ — центр шара.

Проверим вид треугольника $$ABC$$:

$$AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=CA^2.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ прямоугольный, причём гипотенуза — $$CA$$. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы, значит $$O_1$$ — середина $$CA$$.

Тогда

$$AO_1=\frac{CA}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем $$OA=R=13$$ см, поэтому

$$OO_1=\sqrt{OA^2-AO_1^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Ответ

$$12$$ см.