Упр.34 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними — $$6\text{ см}$$, $$8\text{ см}$$, $$10\text{ см}$$. Радиус шара — $$13\text{ см}$$. Найдите расстояние от центра до плоскости, проходящей через эти точки.

Пусть данные точки обозначены через $$A$$, $$B$$ и $$C$$, тогда $$AB=6\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$, $$AC=10\text{ см}$$.

Точка $$O_1$$ — центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Она же является основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара $$O$$ на плоскость $$ABC$$, то есть $$OO_1 \perp (ABC)$$.

Проверим вид треугольника $$ABC$$:

$$AB^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2=AC^2.$$

Следовательно, $$\triangle ABC$$ прямоугольный, причём гипотенуза — $$AC$$. Тогда центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, значит

$$AO_1=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$OO_1A$$ имеем $$OA=R=13\text{ см}$$, поэтому

$$OO_1=\sqrt{OA^2-AO_1^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.