Упр.34 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Точка A лежит вне плоскости а, X — произвольная точка плоскости а, X’ — точка отрезка AX, делящая его в отношении m : п. Докажите, что геометрическое место точек X’ есть плоскость, параллельная плоскости а.

Подробный ответ

Возьмём на плоскости $$\alpha$$ две произвольные точки $$X_1$$ и $$X_2$$ и обозначим через $$X_1’$$ и $$X_2’$$ точки отрезков $$AX_1$$ и $$AX_2$$, делящие их в отношении $$m:n$$.

Тогда

$$\frac{AX_1′}{AX_1}=\frac{m}{n}, \qquad \frac{AX_2′}{AX_2}=\frac{m}{n}.$$

Следовательно, в треугольниках $$AXX_1$$ и $$AX’X_1’$$ углы при вершине $$A$$ равны, а прилежащие к ним стороны пропорциональны, значит, эти треугольники подобны. Отсюда

$$\angle AX’X_1’=\angle AXX_1,$$

поэтому

$$X’X_1′ \parallel XX_1.$$

Аналогично получаем

$$X’X_2′ \parallel XX_2.$$

Прямые $$X’X_1’$$ и $$X’X_2’$$ пересекаются и лежат в одной плоскости. Эта плоскость содержит две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым $$XX_1$$ и $$XX_2$$ плоскости $$\alpha$$. Значит, эта плоскость параллельна плоскости $$\alpha$$.

Так как точка $$X’$$ лежит на этой плоскости, то все точки $$X’$$ образуют плоскость, параллельную плоскости $$\alpha$$.