Упр.34 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 2-34. Точка $$A$$ лежит вне плоскости $$\alpha$$, $$X$$ — произвольная точка плоскости $$\alpha$$, $$X’$$ — точка отрезка $$AX$$, делящая его в отношении $$m:n$$. Докажите, что геометрическое место точек $$X’$$ есть плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.

Возьмём на плоскости $$\alpha$$ две произвольные точки $$X_1$$ и $$X_2$$ и обозначим через $$X_1’$$ и $$X_2’$$ точки отрезков $$AX_1$$ и $$AX_2$$, делящие их в отношении $$m:n$$.

Тогда

$$\frac{AX_1′}{AX_1}=\frac{AX_2′}{AX_2}=\frac{m}{m+n}$$

Следовательно, в треугольниках $$AXX_1$$ и $$AX’X_1’$$, а также $$AXX_2$$ и $$AX’X_2’$$ соответствующие стороны пропорциональны, значит эти треугольники подобны. Отсюда

$$\angle AX’X_1’=\angle AXX_1,\qquad \angle AX’X_2’=\angle AXX_2.$$

Так как точки $$X_1$$ и $$X_2$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, то прямые $$XX_1$$ и $$X_1’X_1$$, а также $$XX_2$$ и $$X_2’X_2$$ параллельны. Значит,

$$X_1’X_1 \parallel XX_1,\qquad X_2’X_2 \parallel XX_2.$$

Итак, через точки $$X_1’$$ и $$X_2’$$ проходят прямые, параллельные соответственно двум пересекающимся прямым $$XX_1$$ и $$XX_2$$, лежащим в плоскости $$\alpha$$. Поэтому прямая $$X_1’X_2’$$ лежит в плоскости, параллельной плоскости $$\alpha$$.

Так как точки $$X_1$$ и $$X_2$$ были выбраны произвольно, то все точки $$X’$$ лежат в одной и той же плоскости, параллельной плоскости $$\alpha$$.

Ответ: геометрическое место точек $$X’$$ — плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.