Упр.33 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Хорда делит окружность на части, отношение которых равно 3 : 7. Найдите углы, которые образует эта хорда с касательной к окружности, проведенной в ее конце.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — данная хорда, а $$MN$$ — касательная к окружности в точке $$A$$. Обозначим дуги, на которые хорда делит окружность, через $$\overset{\frown}{ACB}$$ и $$\overset{\frown}{ADB}$$. По условию

$$\overset{\frown}{ACB} : \overset{\frown}{ADB} = 3 : 7.$$

Пусть $$\overset{\frown}{ACB}=3x$$, тогда $$\overset{\frown}{ADB}=7x$$. Так как сумма дуг окружности равна $$360^\circ$$, получаем

$$3x+7x=360^\circ,$$

$$10x=360^\circ,$$

$$x=36^\circ.$$

Тогда

$$\overset{\frown}{ACB}=3\cdot 36^\circ=108^\circ,$$

$$\overset{\frown}{ADB}=7\cdot 36^\circ=252^\circ.$$

Угол между касательной и хордой равен половине соответствующей дуги, на которую он опирается. Поэтому

$$\angle NAB=\frac{\overset{\frown}{ACB}}{2}=\frac{108^\circ}{2}=54^\circ,$$

$$\angle BAM=\frac{\overset{\frown}{ADB}}{2}=\frac{252^\circ}{2}=126^\circ.$$