Упр.33 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

По стороне основания $$a$$ и боковому ребру $$b$$ найдите объём правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырёхугольной; 3) шестиугольной.

Пусть $$SO$$ — высота правильной пирамиды, тогда $$O$$ — центр описанной около основания окружности, а $$AO=R$$ — радиус этой окружности. В прямоугольном треугольнике $$SOA$$ имеем

$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{b^2-R^2}.$$

Тогда объём пирамиды

$$V=\frac13 S\cdot SO=\frac13 S\sqrt{b^2-R^2}.$$

1) Треугольная пирамида

Для правильного треугольника со стороной $$a$$

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}, \qquad R=\frac{a\sqrt3}{3}.$$

Следовательно,

$$V=\frac13\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt3}{3}\right)^2} =\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$

2) Четырёхугольная пирамида

Для квадрата со стороной $$a$$

$$S=a^2, \qquad R=\frac{a\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$V=\frac13\cdot a^2\cdot \sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt2}{2}\right)^2} =\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}.$$

3) Шестиугольная пирамида

Для правильного шестиугольника со стороной $$a$$

$$S=6\cdot \frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3\,a^2}{2}, \qquad R=a.$$

Следовательно,

$$V=\frac13\cdot \frac{3\sqrt3\,a^2}{2}\cdot \sqrt{b^2-a^2} =\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}.$$

Ответ: 1) $$\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}$$; 2) $$\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}$$; 3) $$\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}$$.