Упр.33 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: По стороне основания а и боковому ребру b найдите объ ем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырех угольной; 3) шестиугольной.

Пусть $$SO$$ — высота правильной пирамиды, а $$O$$ — центр основания. Тогда $$AO=R$$, где $$R$$ — радиус описанной около основания окружности.

В прямоугольном треугольнике $$SAO$$ имеем:

$$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{b^2-R^2}.$$

Следовательно, объём пирамиды равен

$$V=\frac{1}{3}S\cdot SO=\frac{1}{3}S\sqrt{b^2-R^2}.$$

1) Треугольная пирамида.

Основание — равносторонний треугольник со стороной $$a$$, поэтому

$$S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \qquad R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} =\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}.$$

2) Четырёхугольная пирамида.

Основание — квадрат, значит

$$S=a^2, \qquad R=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \sqrt{b^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} =\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}.$$

3) Шестиугольная пирамида.

Основание — правильный шестиугольник со стороной $$a$$, поэтому

$$S=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2, \qquad R=a.$$

Тогда

$$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2\cdot \sqrt{b^2-a^2} =\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}.$$

Ответ

1) $$\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}$$; 2) $$\frac{a^2}{6}\sqrt{4b^2-2a^2}$$; 3) $$\frac{a^2}{2}\sqrt{3\left(b^2-a^2\right)}$$.