Упр.33 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Боковое ребро прямого параллелепипеда $$5\ \text{м}$$, стороны основания $$6\ \text{м}$$ и $$8\ \text{м}$$, а одна из диагоналей основания $$12\ \text{м}$$. Найдите диагонали параллелепипеда.

Так как основание прямого параллелепипеда $$ABCD$$ — параллелограмм, то для его диагоналей верно:

$$AC^2+BD^2=2AB^2+2AD^2.$$

Тогда

$$BD=\sqrt{2AB^2+2AD^2-AC^2}=\sqrt{2\cdot 6^2+2\cdot 8^2-12^2}=\sqrt{56}.$$

Значит, одна диагональ основания равна $$\sqrt{56}\text{ м}.$$

Найдём пространственные диагонали параллелепипеда. В прямоугольном треугольнике с катетами $$AC$$ и $$AA_1$$ получаем:

$$AC_1=\sqrt{AC^2+AA_1^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\text{ м}.$$

Аналогично для другой пространственной диагонали:

$$B_1D=\sqrt{BD^2+AA_1^2}=\sqrt{56+5^2}=\sqrt{81}=9\text{ м}.$$

Следовательно, диагонали параллелепипеда равны $$13\text{ м}$$ и $$9\text{ м}.$$

Ответ: $$13\text{ м}$$ и $$9\text{ м}$$.