Упр.33 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Пусть $$AB \perp \alpha$$, $$AC$$ — наклонная к плоскости $$\alpha$$, а $$BC$$ — её проекция на эту плоскость. Возьмём в плоскости $$\alpha$$ прямую $$c$$, причём $$c \perp BC$$.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$c_1$$, параллельную прямой $$c$$. Тогда $$c_1 \perp BC$$. По теореме о трёх перпендикулярах из этого следует, что $$c_1 \perp AC$$. Но $$c_1 \parallel c$$, значит и прямая $$c \perp AC$$.

Обратно, пусть теперь $$c \perp AC$$. Тогда любая прямая, проходящая через $$C$$ и параллельная $$c$$, тоже перпендикулярна $$AC$$. В частности, прямая $$c_1$$, проведённая через $$C$$ параллельно $$c$$, перпендикулярна $$AC$$. По теореме о трёх перпендикулярах отсюда получаем $$c_1 \perp BC$$, а значит, и $$c \perp BC$$.

Следовательно, любая прямая плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной, и обратно: если прямая перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.