Упр.33 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной. И обратно: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Подробный ответ

Пусть $$AB \perp \alpha$$, $$AC$$ — наклонная к плоскости $$\alpha$$, а $$BC$$ — её проекция на эту плоскость. Возьмём в плоскости $$\alpha$$ прямую $$c$$, причём $$c \perp BC$$.

Проведём через точку $$C$$ прямую $$c_1$$, параллельную $$c$$. Тогда $$c_1 \perp BC$$.

По теореме о трёх перпендикулярах из того, что $$c_1 \perp BC$$, следует $$c_1 \perp AC$$. Но $$c \parallel c_1$$, значит, и $$c \perp AC$$.

Обратно: если $$c \perp AC$$, то любая прямая $$c_1$$, параллельная $$c$$, тоже перпендикулярна $$AC$$. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$c_1 \perp BC$$, а значит, и $$c \perp BC$$.

Итак, любая прямая плоскости, перпендикулярная проекции наклонной, перпендикулярна и самой наклонной, и наоборот.