Упр.33 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость, удалены от нее на $$0{,}3\ \text{м}$$ и $$0{,}5\ \text{м}$$. Как удалена от плоскости точка, делящая данный отрезок в отношении $$3:7$$?

Подробный ответ

Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — перпендикуляры, опущенные из точек $$A$$ и $$B$$ на плоскость $$\alpha$$, а $$CC_1$$ — перпендикуляр из точки $$C$$.

Так как отрезок $$AB$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$, то точки $$A$$ и $$B$$ лежат по одну сторону от плоскости, значит

$$AA_1=0{,}3\text{ м}, \qquad BB_1=0{,}5\text{ м}.$$

Проведём через точку $$A$$ прямую $$AD \parallel A_1B_1$$. Тогда $$AD \perp BB_1$$, а значит, четырёхугольник $$AA_1B_1D$$ — прямоугольник. Отсюда

$$DB_1=AA_1=0{,}3\text{ м}.$$

Следовательно,

$$BD=BB_1-DB_1=0{,}5-0{,}3=0{,}2\text{ м}.$$

Точка $$C$$ делит отрезок $$AB$$ в отношении $$AC:CB=3:7$$, значит

$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC+CB}{AC}=1+\frac{7}{3}=\frac{10}{3}.$$

Треугольники $$\triangle ACK$$ и $$\triangle ABD$$ подобны, поэтому

$$\frac{BD}{CK}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{3}.$$