Упр.33 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны две параллельные плоскости а1 и а2 и точка A, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку A проведена произвольная прямая. Пусть X1 и X2 — точкипересечения этой прямой с плоскостями а1 и а2. Докажите, что отношение длин отрезков AX1 : AX2 не зависит от взятой прямой.

Проведём через точку $$A$$ ещё одну прямую, пересекающую плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ в точках $$Y_1$$ и $$Y_2$$.

Рассмотрим плоскость $$AY_1X_2$$. Так как $$\alpha_1 \parallel \alpha_2$$, то линии пересечения этой плоскости с данными плоскостями параллельны, значит

$$Y_1X_1 \parallel Y_2X_2.$$

Тогда треугольники $$\triangle AY_1X_1$$ и $$\triangle AY_2X_2$$ подобны по двум углам:

$$\angle AY_1X_1 = \angle AY_2X_2,$$

$$\angle AX_1Y_1 = \angle AX_2Y_2.$$

Из подобия получаем

$$\frac{AX_1}{AX_2}=\frac{AY_1}{AY_2}.$$

Правая часть не зависит от выбора прямой через точку $$A$$, значит и отношение $$AX_1:AX_2$$ постоянно.

Ответ

$$AX_1:AX_2$$ не зависит от выбора прямой, проведённой через точку $$A$$.