Упр.33 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 2-33. Даны две параллельные плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ и точка $$A$$, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку $$A$$ проведена произвольная прямая. Пусть $$X_1$$ и $$X_2$$ — точки пересечения этой прямой с плоскостями $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$. Докажите, что отношение длин отрезков $$AX_1:AX_2$$ не зависит от взятой прямой.
Проведём через точку $$A$$ ещё одну прямую, пересекающую плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ в точках $$Y_1$$ и $$Y_2$$.
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$AX_2$$ и $$AY_2$$. Она пересекает плоскости $$\alpha_1$$ и $$\alpha_2$$ по прямым $$Y_1X_1$$ и $$Y_2X_2$$ соответственно. Так как $$\alpha_1 \parallel \alpha_2$$, то
$$Y_1X_1 \parallel Y_2X_2.$$
Следовательно, в плоскости получаем подобие треугольников $$\triangle AY_1X_1$$ и $$\triangle AY_2X_2$$ по двум углам:
$$\angle AY_1X_1=\angle AY_2X_2,$$
$$\angle AY_1X_1=\angle AY_2X_2.$$
Из подобия треугольников следует пропорция
$$\frac{AX_1}{AX_2}=\frac{AY_1}{AY_2}.$$
Правая часть не зависит от выбора прямой через точку $$A$$, значит и отношение $$AX_1:AX_2$$ постоянно.
Ответ: $$AX_1:AX_2$$ не зависит от выбранной прямой.
