Упр.32 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-32. Чему равен объём прямой четырёхугольной призмы, если её высота $$h$$, диагонали наклонены к плоскости основания под углами $$\alpha$$ и $$\beta$$, и острый угол между диагоналями основания равен $$\gamma$$?

Рассмотрим диагонали основания призмы. В прямоугольных треугольниках $$ACC_1$$ и $$BDD_1$$ имеем:

$$AC=\frac{CC_1}{\tg \alpha}=\frac{h}{\tg \alpha},$$

$$BD=\frac{DD_1}{\tg \beta}=\frac{h}{\tg \beta}.$$

Площадь основания — параллелограмма с диагоналями $$AC$$ и $$BD$$ и острым углом между ними $$\gamma$$:

$$S=\frac{1}{2}\,AC\cdot BD\cdot \sin \gamma =\frac{1}{2}\cdot \frac{h}{\tg \alpha}\cdot \frac{h}{\tg \beta}\cdot \sin \gamma =\frac{h^2\sin \gamma}{2\,\tg \alpha\,\tg \beta}.$$

Тогда объём прямой призмы равен

$$V=S\cdot h=\frac{h^3\sin \gamma}{2\,\tg \alpha\,\tg \beta}.$$

Ответ: $$\frac{h^3\sin \gamma}{2\,\tg \alpha\,\tg \beta}$$.