Упр.32 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у которого каждое ребро равно $$a$$, а угол основания равен $$60^\circ$$.

Подробный ответ

Так как $$AB=AD=a$$ и $$\angle BAD=60^\circ$$, то треугольник $$ABD$$ равнобедренный. При этом равные стороны образуют угол $$60^\circ$$, значит $$\triangle ABD$$ равносторонний. Следовательно,

$$BD=AB=a.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBB_1$$. Тогда

$$B_1D=\sqrt{BD^2+BB_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Найдём диагональ основания $$AC$$. По теореме косинусов в треугольнике $$ADC$$:

$$AC^2=AD^2+DC^2-2\cdot AD\cdot DC\cdot \cos(180^\circ-60^\circ).$$

Так как $$AD=DC=a$$ и $$\cos 120^\circ=-\frac12$$, получаем

$$AC^2=a^2+a^2-2a^2\left(-\frac12\right)=3a^2,$$

откуда

$$AC=a\sqrt{3}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Тогда

$$AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a.$$

Ответ: $$a\sqrt{2}$$ и $$2a$$.