Упр.31 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Две хорды пересекаются внутри окружности под углом $$60^\circ$$. Найдите градусные меры двух дуг, заключённых между сторонами этого угла и их продолжениями, если они относятся как $$1:3$$.

Подробный ответ

Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$M$$. Тогда угол между ними равен $$\angle BMC=60^\circ$$.

Обозначим меньшую дугу, заключённую между сторонами этого угла, через $$x$$. Тогда другая дуга относится к ней как $$1:3$$, значит её градусная мера равна $$3x$$.

По теореме о угле, образованном пересекающимися хордами внутри окружности, имеем:

$$\angle BMC=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{AD}\right).$$

Тогда

$$60^\circ=\frac{x+3x}{2}=\frac{4x}{2}=2x,$$

откуда

$$x=30^\circ.$$

Следовательно, вторая дуга равна

$$3x=90^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$ и $$90^\circ$$.