Упр.31 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания 60 см, а радиус шара 75 см?

Подробный ответ

Рассмотрим диаметральное сечение шара. Пусть $$AB$$ — хорда окружности основания шарового сектора, тогда $$AB=60\text{ см}$$ и $$AB\perp CO$$, где $$O$$ — центр шара, $$C$$ — вершина сектора.

Обозначим через $$O_1$$ точку пересечения прямых $$AB$$ и $$CO$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$\triangle OBO_1$$

$$OO_1=\sqrt{OB^2-B O_1^2}=\sqrt{75^2-60^2}=\sqrt{5625-3600}=45\text{ см}.$$

Высота шарового сегмента равна

$$H=CO_1=CO-OO_1=75-45=30\text{ см}.$$

Объём меньшего шарового сектора:

$$V_1=\frac{2}{3}\pi R^2H=\frac{2}{3}\pi\cdot 75^2\cdot 30=112500\pi\text{ см}^3=112{,}5\pi\text{ дм}^3.$$

Объём всего шара:

$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\cdot 75^3=562500\pi\text{ см}^3.$$

Тогда объём второго шарового сектора:

$$V_2=V-V_1=562500\pi-112500\pi=450000\pi\text{ см}^3=450\pi\text{ дм}^3.$$