Упр.31 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Радиус шара $$R$$. Через конец радиуса проведена плоскость под углом $$60^\circ$$ к нему. Найдите площадь сечения.

Пусть $$O$$ — центр шара, а $$O_1$$ — центр сечения. Тогда $$OO_1 \perp$$ секущей плоскости, значит треугольник $$OO_1A$$ прямоугольный, где $$A$$ — точка окружности сечения.

Так как плоскость проведена через конец радиуса и образует с ним угол $$60^\circ$$, то $$\angle OAO_1=60^\circ,$$ а $$OA=R.$$

Из прямоугольного треугольника $$OO_1A$$ получаем:

$$O_1A=OA\cdot \cos 60^\circ=R\cdot \frac12=\frac{R}{2}.$$

Сечение — круг радиуса $$O_1A$$, поэтому его площадь равна

$$S=\pi \left(O_1A\right)^2=\pi \left(\frac{R}{2}\right)^2=\frac{\pi R^2}{4}.$$

Ответ: $$\frac{\pi R^2}{4}$$.