Упр.31 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.

Пусть $$BD_1$$ — меньшая диагональ параллелепипеда. Тогда угол между этой диагональю и плоскостью основания равен $$60^\circ$$, а её проекция на основание — диагональ $$BD$$.

Найдём диагональ основания $$A_1C_1$$. Основание параллелепипеда — параллелограмм со сторонами $$3$$ см и $$5$$ см, одна из диагоналей которого равна $$4$$ см. Для диагоналей параллелограмма выполняется формула:

$$d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2).$$

Тогда для второй диагонали основания:

$$A_1C_1^2=2\cdot 3^2+2\cdot 5^2-4^2=18+50-16=52,$$

откуда

$$A_1C_1=\sqrt{52}\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BB_1D_1$$. Так как $$\angle BD_1B=60^\circ$$, то

$$BB_1=BD_1\cdot \tan 60^\circ=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CC_1A_1$$ большая диагональ параллелепипеда равна

$$A_1C=\sqrt{A_1C_1^2+CC_1^2}=\sqrt{52+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{52+48}=\sqrt{100}=10\text{ см}.$$

Ответ

$$10\text{ см}$$