Упр.31 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, не лежащие на одной прямой. Чему равен угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$, если эти прямые образуют углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ с прямой $$AB$$ и $$\alpha+\beta<90^\circ$$?

Рассмотрим угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$. Он может быть либо внутренним углом треугольника $$\triangle ABC$$, либо смежным с ним, в зависимости от того, как расположены углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ относительно прямой $$AB$$.

Возможны три случая:

1. Если углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ — внутренние углы треугольника при вершинах $$A$$ и $$B$$, то

   $$\angle ACB=180^\circ-\alpha-\beta.$$

   Так как $$\alpha+\beta<90^\circ$$, то искомый угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$ равен

   $$x=180^\circ-\angle ACB=\alpha+\beta.$$

2. Если $$\alpha$$ — внешний, а $$\beta$$ — внутренний угол, то

   $$\angle CAB=180^\circ-\alpha,$$

   следовательно,

   $$\angle ACB=180^\circ-(180^\circ-\alpha)-\beta=\alpha-\beta.$$

   Тогда искомый угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$ равен

   $$x=\alpha-\beta.$$

3. Если $$\beta$$ — внешний, а $$\alpha$$ — внутренний угол, то аналогично получаем

   $$x=\beta-\alpha.$$

Значит, угол между прямыми $$CA$$ и $$CB$$ равен либо $$\alpha+\beta$$, либо $$|\alpha-\beta|$$.

Ответ: $$\alpha+\beta$$ или $$|\alpha-\beta|$$.