Упр.31 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно а. Отрезок длины b своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.

Подробный ответ

Пусть отрезок имеет концы $$A$$ и $$B$$, причём $$A \in \alpha$$, $$B \in \beta$$. Опустим из точек $$A$$ и $$B$$ перпендикуляры на одну и ту же плоскость: обозначим их основания через $$D$$ и $$C$$ соответственно.

Так как расстояние между параллельными плоскостями равно $$a$$, то

$$AD=BC=a.$$

Четырёхугольник $$ABCD$$ — прямоугольник, поэтому его противоположные стороны равны и параллельны, а значит, проекции отрезка $$AB$$ на плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ равны отрезку $$DC$$, то есть $$AD=BC$$, а искомая длина проекции равна $$CD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$. В нём $$AB=b$$, $$AD=a$$, поэтому по теореме Пифагора:

$$ BD^2=AB^2-AD^2 $$

$$ BD=\sqrt{b^2-a^2}. $$

Следовательно, проекция отрезка на каждую из плоскостей имеет длину $$\sqrt{b^2-a^2}$$.