Упр.31 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно $$a$$. Отрезок длины $$b$$ своими концами упирается в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую из плоскостей.

Пусть отрезок $$AB=b$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$, причём $$A\in\alpha$$, $$B\in\beta$$. Опустим перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ на одну и ту же плоскость, например на $$\alpha$$.

Так как расстояние между параллельными плоскостями равно $$a$$, то

$$AA_1=BB_1=a.$$

Проекция отрезка $$AB$$ на плоскость $$\alpha$$ — это отрезок $$A_1B_1$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1B$$:

$$AB^2=AA_1^2+A_1B_1^2.$$

Тогда

$$A_1B_1=\sqrt{AB^2-AA_1^2}=\sqrt{b^2-a^2}.$$

Аналогично проекция отрезка на плоскость $$\beta$$ имеет ту же длину.

Ответ: $$\sqrt{b^2-a^2}$$.