Упр.31 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку $$A$$, пересекают плоскость $$\alpha$$ в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную $$\alpha$$ и не проходящую через точку $$A$$, тоже в вершинах параллелограмма (рис. 38).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны. Прямые $$EE_1,\,BB_1,\,CC_1,\,DD_1$$ проходят через точку $$A$$ и пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$E,\,B,\,C,\,D$$, а плоскость $$\beta$$ — в точках $$E_1,\,B_1,\,C_1,\,D_1$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то при пересечении их одной и той же плоскостью получаются параллельные прямые. Поэтому из плоскостей $$AEB_1$$, $$ABC_1$$, $$ACD_1$$ и $$AED_1$$ имеем:

$$EB \parallel E_1B_1,\qquad BC \parallel B_1C_1,\qquad CD \parallel C_1D_1,\qquad DE \parallel D_1E_1.$$

По условию $$EBCD$$ — параллелограмм, значит

$$BC \parallel ED,\qquad CD \parallel BE.$$

Тогда, учитывая уже найденные параллельности, получаем:

$$B_1C_1 \parallel D_1E_1,\qquad C_1D_1 \parallel E_1B_1.$$

Следовательно, в четырёхугольнике $$E_1B_1C_1D_1$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит $$E_1B_1C_1D_1$$ — параллелограмм.

Ответ: точки пересечения образуют параллелограмм.