Упр.30 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите расстояние между сторонами ромба, диагонали которого равны $$d_1$$ и $$d_2$$.

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей ромба. Тогда диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$DO=\frac{d_2}{2}, \qquad OC=\frac{d_1}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$DOC$$ находим сторону ромба:

$$DC=\sqrt{DO^2+OC^2} =\sqrt{\frac{d_2^2}{4}+\frac{d_1^2}{4}} =\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}.$$

Проведём $$AH\perp DC$$. Так как $$AB\parallel DC$$, то $$AH\perp AB$$, значит $$AH$$ — искомое расстояние между сторонами ромба.

Площадь ромба можно выразить через диагонали и через сторону с высотой:

$$S=\frac{d_1d_2}{2}=DC\cdot AH.$$

Тогда

$$AH=\frac{S}{DC} =\frac{\frac{d_1d_2}{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{d_1^2+d_2^2}} =\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}.$$

Ответ: $$\frac{d_1d_2}{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}$$.