Упр.30 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 7-30. Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна $$2\text{ см}$$, а две другие — по $$3\text{ см}$$. Боковое ребро равно $$4\text{ см}$$ и составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$. Найдите ребро равновеликого куба.

Обозначим площадь основания призмы через $$S$$, а высоту призмы через $$h$$.

Так как боковое ребро равно $$4$$ см и составляет с плоскостью основания угол $$45^\circ$$, то высота призмы равна перпендикулярной составляющей бокового ребра:

$$h=4\sin 45^\circ=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ см}.$$

Основание — треугольник со сторонами $$2$$ см, $$3$$ см и $$3$$ см. Найдём его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{2+3+3}{2}=4,$$

$$S=\sqrt{p(p-2)(p-3)(p-3)}=\sqrt{4\cdot 2\cdot 1\cdot 1}=2\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

Тогда объём призмы:

$$V=Sh=2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=8\text{ см}^3.$$

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда

$$a^3=8,$$

откуда

$$a=\sqrt[3]{8}=2\text{ см}.$$

Ответ: $$2$$ см.