Упр.30 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основание призмы — треугольник, у которого одна сторона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро равно 4 см и составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите ребро равновеликого куба.

Подробный ответ

Обозначим высоту призмы через $$A_1O$$, где $$O$$ — проекция точки $$A_1$$ на плоскость основания. Тогда в прямоугольном треугольнике $$AA_1O$$ имеем:

$$A_1O=AA_1\sin 45^\circ=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ см}.$$

Найдём площадь основания призмы. Основание — треугольник со сторонами $$2\text{ см}, 3\text{ см}, 3\text{ см}$$. По формуле Герона:

$$p=\frac{2+3+3}{2}=4,$$

$$S=\sqrt{p(p-2)(p-3)(p-3)}=\sqrt{4\cdot 2\cdot 1\cdot 1}=2\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

Тогда объём призмы равен:

$$V=S\cdot A_1O=2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=8\text{ см}^3.$$

Пусть ребро куба равно $$a$$. Тогда

$$a^3=8,$$

откуда

$$a=\sqrt[3]{8}=2\text{ см}.$$