Упр.30 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до параллельной плоскости одинаковы.

Подробный ответ

Возьмём на плоскости $$\alpha$$ две произвольные точки $$X$$ и $$Y$$ и опустим из них перпендикуляры на плоскость $$\beta$$: $$XX’$$ и $$YY’$$. Тогда $$XX’$$ и $$YY’$$ — это расстояния от точек $$X$$ и $$Y$$ до плоскости $$\beta$$.

Так как $$XX’ \perp \beta$$ и $$YY’ \perp \beta$$, то $$XX’ \parallel YY’$$. Эти прямые лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$XY$$ и $$X’Y’$$.

Поскольку плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны, значит $$XY \parallel X’Y’$$.

Следовательно, четырёхугольник $$XX’Y’Y$$ — параллелограмм. Тогда его противоположные стороны равны:

$$XX’ = YY’.$$

Но $$XX’$$ и $$YY’$$ — произвольные расстояния от точек плоскости $$\alpha$$ до плоскости $$\beta$$. Значит, расстояния от всех точек плоскости $$\alpha$$ до параллельной ей плоскости $$\beta$$ одинаковы.