Упр.30 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках A, B, C, а параллельную ей плоскость в точках A1, B1, C1. Докажите подобие треугольников ABC и A1B1C1 (рис. 37).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$AB$$ и $$AM$$. Она пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$A_1B_1$$, а плоскость $$\beta$$ — по прямой $$AB$$. Так как $$\alpha \parallel \beta$$, то

$$AB \parallel A_1B_1.$$

Аналогично получаем:

$$AC \parallel A_1C_1,\qquad BC \parallel B_1C_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$A_1B_1M$$ и $$ABM$$. У них

$$\angle B_1A_1M=\angle BAM,$$

$$\angle A_1B_1M=\angle ABM,$$

так как соответствующие стороны параллельны. Следовательно,

$$\triangle A_1B_1M \sim \triangle ABM,$$

откуда

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{A_1M}{AM}.$$

Аналогично из подобия треугольников $$A_1C_1M$$ и $$ACM$$ получаем

$$\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{A_1M}{AM}.$$

Значит,

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{A_1C_1}{AC}.$$

Точно так же из подобия треугольников $$B_1C_1M$$ и $$BCM$$ имеем

$$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1M}{AM}.$$

Следовательно, все три стороны треугольника $$A_1B_1C_1$$ пропорциональны соответствующим сторонам треугольника $$ABC$$, то есть

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$

Ответ

$$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1.$$