Упр.30 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают данную плоскость в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$, а параллельную ей плоскость — в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$. Докажите подобие треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ (рис. 37).

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, а прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ проходят через одну точку $$M$$.

Рассмотрим плоскость $$ABM$$. Она пересекает плоскость $$\alpha$$ по прямой $$A_1B_1$$, а плоскость $$\beta$$ — по прямой $$AB$$. Так как $$\alpha \parallel \beta$$, то линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны, значит

$$AB \parallel A_1B_1.$$

Аналогично получаем

$$AC \parallel A_1C_1,\qquad BC \parallel B_1C_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$A_1B_1M$$ и $$ABM$$. У них

$$\angle B_1A_1M=\angle BAM,$$

$$\angle A_1B_1M=\angle ABM,$$

так как соответствующие стороны параллельны. Следовательно,

$$\triangle A_1B_1M \sim \triangle ABM,$$

откуда

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{A_1M}{AM}.$$

Аналогично

$$\triangle A_1C_1M \sim \triangle ACM,$$

поэтому

$$\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{A_1M}{AM}.$$

Значит,

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{A_1C_1}{AC}.$$

Точно так же, сравнивая треугольники $$B_1C_1M$$ и $$BCM$$, получаем

$$\frac{B_1C_1}{BC}=\frac{A_1M}{AM}.$$

Следовательно,

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{A_1C_1}{AC}=\frac{B_1C_1}{BC}.$$

Значит, треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны.

Ответ: $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$.