Упр.3 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не меняя его основания, чтобы объём увеличился в $$n$$ раз? Во сколько раз надо увеличить радиус основания цилиндра, не меняя высоту, чтобы объём увеличился в $$n$$ раз?

Объём цилиндра равен

$$V=\pi R^2h.$$

Если радиус основания не меняется, то

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R^2h_2}{\pi R^2h_1}=\frac{h_2}{h_1}.$$

По условию $$V_2=nV_1,$$ значит

$$\frac{h_2}{h_1}=n,$$

откуда

$$h_2=nh_1.$$

Следовательно, высоту нужно увеличить в $$n$$ раз.

Если высота не меняется, то

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi R_2^2h}{\pi R_1^2h}=\frac{R_2^2}{R_1^2}.$$

Так как $$V_2=nV_1,$$ получаем

$$\frac{R_2^2}{R_1^2}=n,$$

откуда

$$R_2=\sqrt{n}\,R_1.$$

Значит, радиус основания нужно увеличить в $$\sqrt{n}$$ раз.

Ответ: высоту — в $$n$$ раз, радиус основания — в $$\sqrt{n}$$ раз.