Упр.3 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее.

Подробный ответ

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна высоте цилиндра:

$$AB=6\text{ см}.$$

Найдём ширину сечения. Рассмотрим основание цилиндра. Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно $$4\text{ см}$$, значит в основании получаем хорду, удалённую от центра окружности радиуса $$5\text{ см}$$ на расстояние $$4\text{ см}$$.

Пусть $$O$$ — центр основания, $$K$$ — середина хорды. Тогда $$OK\perp AD$$, а в прямоугольном треугольнике $$OAK$$:

$$AK=\sqrt{OA^2-OK^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AD=2AK=6\text{ см}.$$

Тогда площадь сечения равна:

$$S=AB\cdot AD=6\cdot 6=36\text{ см}^2.$$