Упр.3 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- У трёхгранного угла один плоский угол равен $$\gamma$$, а прилежащие к нему двугранные углы равны $$\varphi$$ ($$\varphi<90^\circ$$). Найдите два других плоских угла $$\alpha$$ и $$\beta$$, который образует плоскость угла $$\gamma$$ с противолежащим ребром.
Пусть ребро, противолежащее плоскому углу $$\gamma$$, проходит через точку $$S$$. Опустим из точки $$S$$ перпендикуляр $$SA$$ на плоскость угла $$\gamma$$, а на его стороны — перпендикуляры $$SB$$ и $$SC$$.
По теореме о трёх перпендикулярах имеем:
$$AB\perp OB,\qquad AC\perp OC.$$
Треугольники $$SBA$$ и $$SCA$$ прямоугольные, причём $$\angle SBA=\angle SCA=\varphi$$ и общий катет у них $$SA$$. Значит,
$$AB=AC.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. У них $$AO$$ — общий катет, а $$AB=AC$$, поэтому
$$\angle AOB=\angle AOC.$$
Но
$$\angle COB=\angle AOC+\angle AOB=\gamma,$$
следовательно,
$$\angle AOC=\angle AOB=\frac{\gamma}{2}.$$
Теперь найдём два других плоских угла.
В прямоугольном треугольнике $$ASC$$:
$$\sin\varphi=\frac{AC}{SC},\qquad \cos\varphi=\frac{SA}{SC},$$
откуда
$$SC=\frac{SA}{\sin\varphi},\qquad AC=\frac{SA}{\tan\varphi}.$$
В прямоугольном треугольнике $$AOC$$:
$$\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{AC}{OC},\qquad \cos\frac{\gamma}{2}=\frac{AO}{OC},$$
поэтому
$$OC=\frac{AC}{\sin\frac{\gamma}{2}}=\frac{SA}{\tan\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}}.$$
Тогда в прямоугольном треугольнике $$SOC$$
$$\tan\alpha=\frac{SC}{OC}=\frac{\frac{SA}{\sin\varphi}}{\frac{SA}{\tan\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}}}=\frac{\tan\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi}.$$
А в прямоугольном треугольнике $$SAO$$
$$\tan\beta=\frac{SA}{AO}.$$
Из треугольника $$AOC$$:
$$AO=OC\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{SA}{\tan\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}}\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{SA}{\tan\varphi}\cdot \frac{1}{\tan\frac{\gamma}{2}},$$
значит
$$\tan\beta=\tan\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}.$$
Итак,
$$\tan\alpha=\frac{\tan\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi},\qquad \tan\beta=\tan\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}.$$
Ответ: $$\tan\alpha=\dfrac{\tan\frac{\gamma}{2}}{\cos\varphi},\quad \tan\beta=\tan\varphi\cdot \sin\frac{\gamma}{2}.$$
