Упр.3 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Точки A, B и C лежат в каждой из двух различных плоскостей;
Доказать: Точки A, B и C лежат на одной прямой;
Доказательство:
1) Точка A принадлежит двум различным плоскостям, значит эти
плоскости имеют общую точку, тогда по аксиоме C_2 эти прямые пере-
секаются по прямой, проходящей через точку A;
2) Аналогичным образом доказывается, что точки B и C принадлежат
прямым, по которым пересекаются данные плоскости;
3) Так как плоскости могут пересекаться только по одной прямой, то
точки A, B и C лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть данные различные плоскости пересекаются по прямой $$l$$. Так как точка $$A$$ принадлежит обеим плоскостям, то она лежит на их линии пересечения, то есть на прямой $$l$$.

Аналогично точки $$B$$ и $$C$$ также принадлежат обеим плоскостям, значит, они тоже лежат на прямой $$l$$.

Следовательно, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.