Упр.3 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) $$a=34$$, $$b=12$$, $$\alpha=164^\circ$$; 2) $$a=2$$, $$b=4$$, $$\alpha=60^\circ$$; 3) $$a=6$$, $$b=8$$, $$\alpha=30^\circ$$.

Обозначим стороны треугольника через $$a,\ b,\ c$$, а противолежащие им углы — через $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$. Используем теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin \gamma}.$$

1)

$$a=34,\quad b=12,\quad \alpha=164^\circ.$$

Найдём угол $$\beta$$:

$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{12\sin 164^\circ}{34}\approx 0{,}0972.$$

Отсюда

$$\beta \approx 6^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-164^\circ-6^\circ\approx 10^\circ.$$

Найдём третью сторону:

$$c=\frac{a\sin \gamma}{\sin \alpha}=\frac{34\sin 10^\circ}{\sin 164^\circ}\approx \frac{34\cdot 0{,}173}{0{,}275}\approx 21{,}3.$$

2)

$$a=2,\quad b=4,\quad \alpha=60^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{4\sin 60^\circ}{2}=1{,}732.$$

Так как значение синуса не может быть больше $$1$$, такого угла $$\beta$$ не существует. Следовательно, треугольник с такими данными не существует.

3)

$$a=6,\quad b=8,\quad \alpha=30^\circ.$$

Найдём $$\beta$$:

$$\sin \beta=\frac{b\sin \alpha}{a}=\frac{8\sin 30^\circ}{6}=\frac{8\cdot 0{,}5}{6}=\frac{2}{3}\approx 0{,}667.$$

Значит, возможны два значения угла:

$$\beta_1\approx 42^\circ,\qquad \beta_2\approx 138^\circ.$$

Тогда соответствующие значения $$\gamma$$:

$$\gamma_1=180^\circ-30^\circ-42^\circ=108^\circ,$$

$$\gamma_2=180^\circ-30^\circ-138^\circ=12^\circ.$$

Найдём третью сторону в обоих случаях:

$$c_1=\frac{a\sin \gamma_1}{\sin \alpha}=\frac{6\sin 108^\circ}{\sin 30^\circ}\approx \frac{6\cdot 0{,}951}{0{,}5}\approx 11{,}4,$$

$$c_2=\frac{a\sin \gamma_2}{\sin \alpha}=\frac{6\sin 12^\circ}{\sin 30^\circ}\approx \frac{6\cdot 0{,}207}{0{,}5}\approx 2{,}49.$$

Ответ: 1) $$c\approx 21{,}3,\ \beta\approx 6^\circ,\ \gamma\approx 10^\circ$$; 2) решения нет; 3) $$\beta_1\approx 42^\circ,\ \beta_2\approx 138^\circ,\ \gamma_1\approx 108^\circ,\ \gamma_2\approx 12^\circ,\ c_1\approx 11{,}4,\ c_2\approx 2{,}49.$$