Упр.29 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 9-29. Около окружности радиуса $$r$$ описана равнобокая трапеция с основаниями $$2a$$ и $$2b$$. Докажите, что $$r^2=ab$$.

Так как около трапеции можно описать окружность, то в четырёхугольнике $$ABCD$$ выполняется свойство касательного четырёхугольника:

$$AB+CD=AD+BC.$$

Поскольку трапеция равнобокая, то $$AB=CD$$. Тогда

$$2AB=2a+2b,$$

откуда

$$AB=a+b.$$

Проведём высоту $$BH$$. Тогда $$\triangle ABH$$ — прямоугольный. Так как окружность касается обоих оснований трапеции, расстояние между основаниями равно диаметру окружности, то

$$BH=2r.$$

Кроме того, в равнобокой трапеции

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{2a-2b}{2}=a-b.$$

По теореме Пифагора для треугольника $$ABH$$ получаем:

$$AB^2=AH^2+BH^2,$$

то есть

$$(a+b)^2=(a-b)^2+(2r)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+2ab+b^2=a^2-2ab+b^2+4r^2.$$

Сокращая одинаковые слагаемые, имеем

$$4ab=4r^2,$$

следовательно,

$$r^2=ab.$$

Ответ: $$r^2=ab$$.