Упр.29 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Два равных шара расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Как относится объем общей части шаров к объему целого шара?

Подробный ответ

Пусть радиус каждого шара равен $$R$$. Рассмотрим диаметральное сечение, проходящее через центры шаров. Тогда получим две равные окружности радиуса $$R$$, причём центр каждого шара лежит на окружности другого.

Обозначим точки пересечения окружностей через $$A$$ и $$B$$. Прямая $$AB$$ является общим хордой и серединным перпендикуляром к отрезку $$O_1O_2$$, где $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры шаров. Поэтому точка пересечения $$AB$$ с $$O_1O_2$$, обозначим её $$O_3$$, является серединой отрезка $$O_1O_2$$, то есть

$$O_1O_3=\frac{R}{2}.$$

Общая часть шаров состоит из двух равных шаровых сегментов с общим основанием и высотой

$$H=O_1O_3=\frac{R}{2}.$$

Объём шарового сегмента радиуса основания $$r$$ и высоты $$H$$ равен

$$V_{\text{сег}}=\pi H^2\left(R-\frac{H}{3}\right).$$

Подставим $$H=\frac{R}{2}$$:

$$ V_{\text{общ}}=2\pi\left(\frac{R}{2}\right)^2\left(R-\frac{R}{2}\cdot\frac{1}{3}\right) =2\pi\cdot\frac{R^2}{4}\cdot\frac{5R}{6} =\frac{5\pi R^3}{12}. $$

Объём целого шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Искомое отношение:

$$ \frac{V_{\text{общ}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{5\pi R^3}{12}}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{5}{16}. $$