Упр.29 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Площадь основания прямой треугольной призмы равна $$4\ \text{см}^2$$, а площади боковых граней — $$9\ \text{см}^2$$, $$10\ \text{см}^2$$ и $$17\ \text{см}^2$$. Найдите объем призмы.

Обозначим стороны основания призмы через $$a$$, $$b$$ и $$c$$, а высоту призмы через $$h$$.

Так как призма прямая, её боковые грани — прямоугольники. Тогда площади боковых граней равны:

$$ah=9,\quad bh=10,\quad ch=17.$$

Отсюда

$$a=\frac{9}{h},\quad b=\frac{10}{h},\quad c=\frac{17}{h}.$$

Полупериметр основания:

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{9}{h}+\frac{10}{h}+\frac{17}{h}\right)=\frac{18}{h}.$$

Площадь основания равна $$4\text{ см}^2$$, значит по формуле Герона:

$$4=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$4=\sqrt{\frac{18}{h}\cdot\left(\frac{18}{h}-\frac{9}{h}\right)\cdot\left(\frac{18}{h}-\frac{10}{h}\right)\cdot\left(\frac{18}{h}-\frac{17}{h}\right)}$$
$$4=\sqrt{\frac{18}{h}\cdot\frac{9}{h}\cdot\frac{8}{h}\cdot\frac{1}{h}} =\sqrt{\frac{1296}{h^4}} =\frac{36}{h^2}.$$

Следовательно,

$$\frac{36}{h^2}=4,\quad h^2=9,\quad h=3\text{ см}.$$

Тогда объём призмы:

$$V=Sh=4\cdot 3=12\text{ см}^3.$$

Ответ: $$12\text{ см}^3$$.