Упр.29 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Через вершины треугольника ABC, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках A1, B1, C1. Докажите равенство треугольников ABC и A1B1C1.

Подробный ответ

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то отрезки параллельных прямых, заключённые между этими плоскостями, равны. Следовательно,

$$AA_1=BB_1=CC_1.$$

Рассмотрим четырёхугольники $$AA_1B_1B$$, $$BB_1C_1C$$ и $$CC_1A_1A$$. В каждом из них противоположные стороны попарно параллельны: например, $$AA_1 \parallel BB_1$$ и $$AB \parallel A_1B_1$$, значит $$AA_1B_1B$$ — параллелограмм. Аналогично, $$BB_1C_1C$$ и $$CC_1A_1A$$ — параллелограммы.

Отсюда получаем:

$$A_1B_1=AB,\qquad B_1C_1=BC,\qquad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.