Упр.29 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через вершины треугольника $$ABC$$, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие другую плоскость в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$. Докажите равенство треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Так как плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельны, то отрезки параллельных прямых, заключённые между этими плоскостями, равны. Поэтому

$$AA_1=BB_1=CC_1.$$

Рассмотрим четырёхугольники $$AA_1B_1B$$, $$BB_1C_1C$$ и $$CC_1A_1A$$. В каждом из них противоположные стороны попарно параллельны: например, $$AA_1 \parallel BB_1$$, $$AB \parallel A_1B_1$$ и т. д. Значит, это параллелограммы.

Из свойств параллелограмма получаем:

$$A_1B_1=AB,\qquad B_1C_1=BC,\qquad A_1C_1=AC.$$

Следовательно, у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\qquad BC=B_1C_1,\qquad AC=A_1C_1.$$

Значит, $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$ по трём сторонам.

Ответ: $$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$$.