Упр.28 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом $$12\text{ дм}$$. Точка касания делит её боковую сторону в отношении $$9:4$$. Найдите площадь трапеции.

Пусть окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$M$$. Тогда по условию

$$AM:MB=9:4.$$

Обозначим $$AM=9x$$, $$MB=4x$$. Тогда

$$AB=AM+MB=13x.$$

Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Из свойств касательных, проведённых из одной точки, получаем $$BK=BM=4x$$. Следовательно,

$$BC=2BK=8x.$$

Тогда

$$AD=AB+CD-BC=13x+13x-8x=18x.$$

Проведём высоту $$BH$$. Тогда

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{18x-8x}{2}=5x.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=\sqrt{169x^2-25x^2}=12x.$$

Но расстояние между основаниями трапеции равно диаметру окружности, то есть

$$BH=2r=24.$$

Значит,

$$12x=24,\quad x=2.$$

Теперь найдём основания:

$$BC=8x=16,$$

$$AD=18x=36.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{36+16}{2}\cdot 24=26\cdot 24=624.$$

Ответ: $$624\ \text{дм}^2$$.