Упр.28 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Равнобокая трапеция описана около окружности с радиусом 12 дм. Точка касания делит ее боковую сторону в от ношении 9 : 4. Найдите площадь трапеции.

Пусть окружность касается стороны $$AB$$ в точке $$M$$, причём $$AM:MB=9:4$$. Тогда можно положить

$$AM=9x,\quad MB=4x.$$

Так как трапеция описана около окружности, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Следовательно,

$$AB=AM+MB=13x,$$

а из равенства касательных, проведённых из одной точки, получаем

$$BK=BM=4x.$$

Тогда

$$BC=2BK=8x.$$

Отсюда

$$AD=AB+CD-BC=26x-8x=18x.$$

Проведём высоту $$BH$$. Тогда

$$AH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{18x-8x}{2}=5x.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$ по теореме Пифагора:

$$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(13x)^2-(5x)^2}=\sqrt{169x^2-25x^2}=12x.$$

Так как окружность касается обеих оснований трапеции, то высота равна диаметру окружности:

$$BH=2r=24,$$

где $$r=12$$ дм. Значит,

$$12x=24,\quad x=2.$$

Теперь найдём основания:

$$BC=8x=16,\quad AD=18x=36.$$

Площадь трапеции:

$$S=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=\frac{36+16}{2}\cdot 24=26\cdot 24=624.$$

Ответ

$$624\ \text{дм}^2$$