Упр.28 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 28. Какую часть объема шара составляет объем шарового сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?

Подробный ответ

Пусть радиус шара равен $$R$$. Тогда его диаметр $$d=2R$$, а высота шарового сегмента

$$H=0{,}1d=0{,}1\cdot 2R=0{,}2R.$$

Объём шара:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi R^3.$$

Объём шарового сегмента высоты $$H$$ равен

$$V_{\text{сег}}=\pi H^2\left(R-\frac{H}{3}\right).$$

Подставим $$H=0{,}2R$$:

$$ V_{\text{сег}}=\pi\cdot (0{,}2R)^2\left(R-\frac{0{,}2R}{3}\right) =\pi\cdot 0{,}04R^2\cdot \frac{14}{15}R =\frac{0{,}56}{15}\pi R^3. $$

Найдём отношение объёмов:

$$ \frac{V_{\text{сег}}}{V_{\text{шара}}} = \frac{\frac{0{,}56}{15}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{0{,}56}{15}\cdot \frac{3}{4} =0{,}028. $$