Упр.28 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Докажите, что площадь сечения, заключённого между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания (рис. 160).

Опустим перпендикуляр $$SO$$ на основание конуса и полушара. Рассмотрим осевое сечение конуса $$ABS$$. Плоскость, параллельная основанию и проходящая через середину высоты, пересекает это сечение по отрезку $$MN$$, причём $$MN \parallel AB$$.

Тогда треугольники $$SO_1N$$ и $$SOB$$ подобны, так как $$\angle SO_1N=\angle SBO$$ и $$\angle SO_1N=\angle SOB=90^\circ$$. Поэтому

$$\frac{SO_1}{SO}=\frac{O_1N}{OB}.$$

По условию $$SO_1=\frac12 SO$$, значит

$$O_1N=\frac{OB\cdot SO_1}{SO}=\frac12\,OB=\frac12 R.$$

В сечении полушара радиус равен $$O_1E$$, где $$E$$ — точка пересечения плоскости с поверхностью полушара. В прямоугольном треугольнике $$OO_1E$$ имеем

$$O_1E=\sqrt{OE^2-OO_1^2}=\sqrt{R^2-\left(\frac12R\right)^2}=\frac{R\sqrt3}{2}.$$

Искомая площадь равна разности площадей двух кругов:

$$S=\pi O_1E^2-\pi O_1N^2 =\pi\cdot\frac{3R^2}{4}-\pi\cdot\frac{R^2}{4} =\frac{\pi R^2}{2}.$$

Площадь основания равна $$\pi R^2$$, следовательно,

$$S=\frac12\pi R^2,$$

что и требовалось доказать.