Упр.28 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым ребрам.

Все грани параллелепипеда являются параллелограммами, поэтому основания $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны и параллельны. Точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры этих оснований, значит, они являются точками пересечения диагоналей соответствующих параллелограммов.

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно,

$$O \in AC,\quad O_1 \in A_1C_1,\quad OC=\frac12 AC,\quad O_1C_1=\frac12 A_1C_1.$$

Так как основания параллелепипеда равны, то их диагонали равны:

$$AC=A_1C_1.$$

Отсюда

$$OC=O_1C_1.$$

Кроме того, в параллелепипеде соответствующие ребра параллельны, значит,

$$OC \parallel O_1C_1.$$

Следовательно, четырёхугольник $$OO_1C_1C$$ — параллелограмм. Тогда

$$OO_1 \parallel CC_1.$$

Аналогично получаем, что

$$OO_1 \parallel AA_1,\quad OO_1 \parallel BB_1,\quad OO_1 \parallel DD_1.$$

Значит, отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен его боковым рёбрам.

Ответ

$$OO_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$