Упр.28 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что отрезок, соединяющий центры оснований параллелепипеда, параллелен боковым рёбрам.
Все грани параллелепипеда — параллелограммы, значит основания $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ равны и параллельны. Точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований, то есть точки пересечения диагоналей этих параллелограммов.
Тогда диагонали оснований делятся пополам, поэтому
$$OC=\frac12 AC,\qquad O_1C_1=\frac12 A_1C_1.$$
Так как основания равны, то их диагонали равны:
$$AC=A_1C_1,$$
следовательно,
$$OC=O_1C_1.$$
Кроме того, в параллелепипеде соответствующие диагонали параллельных оснований параллельны, значит
$$OC \parallel O_1C_1.$$
Отсюда четырёхугольник $$OO_1C_1C$$ — параллелограмм, а значит
$$OO_1 \parallel CC_1.$$
Аналогично получаем, что $$OO_1$$ параллелен и остальным боковым рёбрам параллелепипеда:
$$OO_1 \parallel AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$
