Упр.28 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.

Пусть $$S$$ — центр гомотетии, а точки $$A,B,C$$ переходят в точки $$A’,B’,C’$$.

Тогда точки $$S,A,A’$$ лежат на одной прямой, точки $$S,B,B’$$ — на одной прямой, точки $$S,C,C’$$ — на одной прямой, причём

$$\frac{SA’}{SA}=\frac{SB’}{SB}=\frac{SC’}{SC}=k.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle SAB$$ и $$\triangle SA’B’$$. У них угол при вершине $$S$$ общий, а стороны, заключающие этот угол, пропорциональны:

$$\frac{SA’}{SA}=\frac{SB’}{SB}=k.$$

Следовательно, $$\triangle SAB \sim \triangle SA’B’$$, откуда

$$\frac{AB}{A’B’}=\frac{SA}{SA’}=\frac{1}{k},$$

то есть

$$\frac{A’B’}{AB}=k.$$

Аналогично получаем

$$\frac{B’C’}{BC}=k,\qquad \frac{A’C’}{AC}=k.$$

Значит, все соответствующие стороны треугольников $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ пропорциональны:

$$\frac{A’B’}{AB}=\frac{B’C’}{BC}=\frac{A’C’}{AC}=k.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’$$, то есть преобразование гомотетии в пространстве является преобразованием подобия.