Упр.27 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$BC \parallel AD$$.

Тогда суммы односторонних углов при секущей $$AB$$ и при секущей $$CD$$ равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ,$$

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Докажем оба утверждения.

1. Если трапеция равнобокая, то около неё можно описать окружность.

В равнобокой трапеции $$ABCD$$ боковые стороны равны, поэтому углы при каждом основании равны:

$$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle C.$$

Из $$\angle A+\angle B=180^\circ$$ получаем:

$$\angle B+\angle D=\angle B+\angle A=180^\circ.$$

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника равна $$180^\circ$$, значит, около трапеции можно описать окружность.

2. Если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.

Для вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Но в трапеции уже известно, что

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Сравнивая эти равенства, получаем:

$$\angle A+\angle B=\angle B+\angle D,$$

откуда

$$\angle A=\angle D.$$

Значит, углы при одном основании равны, а следовательно, трапеция равнобокая.

Итак, обратное утверждение тоже верно: если около трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобокая.

Ответ

Около равнобокой трапеции можно описать окружность. Обратное утверждение также верно: если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.