Упр.27 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что около равнобокой трапеции можно описать окружность. Верно ли обратное утверждение?

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, причём $$BC \parallel AD$$.

Тогда при секущей $$AB$$ внутренние односторонние углы дополняют друг друга до $$180^\circ$$, то есть

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Если трапеция равнобокая, то её углы при одном основании равны:

$$\angle A=\angle D.$$

Тогда

$$\angle B+\angle D=\angle B+\angle A=180^\circ.$$

Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ABCD$$ равна $$180^\circ$$, значит, около него можно описать окружность.

Обратное тоже верно. Если около трапеции $$ABCD$$ можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Но из $$\angle A+\angle B=180^\circ$$ получаем

$$\angle A+\angle B=\angle B+\angle D,$$

откуда

$$\angle A=\angle D.$$

Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобокая.

Итак, около равнобокой трапеции можно описать окружность, и наоборот: если около трапеции можно описать окружность, то она равнобокая.