Упр.27 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит его на части 3 см и 9 см. Ha какие части делится объем шара?

Подробный ответ

Пусть радиус шара равен $$R$$. Тогда диаметр шара равен $$3+9=12$$ см, значит

$$R=\frac{12}{2}=6\text{ см}.$$

Плоскость перпендикулярна диаметру, поэтому отрезки $$3$$ см и $$9$$ см являются высотами двух шаровых сегментов: $$H_1=3\text{ см}$$ и $$H_2=9\text{ см}.$$

Объём шарового сегмента высоты $$H$$ вычисляется по формуле

$$V=\pi H^2\left(R-\frac{H}{3}\right).$$

Тогда для первого сегмента:

$$ V_1=\pi\cdot 3^2\left(6-\frac{3}{3}\right) =\pi\cdot 9\cdot 5 =45\pi\text{ см}^3. $$

Для второго сегмента:

$$ V_2=\pi\cdot 9^2\left(6-\frac{9}{3}\right) =\pi\cdot 81\cdot 3 =243\pi\text{ см}^3. $$

Следовательно, объём шара делится на части $$45\pi\text{ см}^3$$ и $$243\pi\text{ см}^3$$.